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01 - 向量(Vector)

向量的定义​

数学定义​

向量就是一串数字数组，我们通常用列向量的方式来表示它：

a=[1234]a1=ax=1a2=ay=2a3=az=3a4=aw=4\nonumber \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1\\2\\3\\4 \end{bmatrix} \begin{align*} \qquad a_1=a_x=1\\ \qquad a_2=a_y=2\\ \qquad a_3=a_z=3\\ \qquad a_4=a_w=4\\ \end{align*}

几何定义​

向量是具有 大小 和 方向 的有向线段。

零向量​

对于任何给定的向量维度，都有一个特殊的向量，被称为零向量(Zero Vector)：

0=[000]\nonumber \mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix}

零向量是特殊的，因为它是唯一的一个大小为零的向量，所有其他向量均具有正大小。此外，零向量也是唯一没有方向的向量。

向量的运算​

标量和向量的乘除法​

只需用标量乘/除向量的每个分量即可：

k[xyzw]=[kxkykzkw]\nonumber k \begin{bmatrix} x\\y\\z\\w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} kx\\ky\\kz\\kw \end{bmatrix}

如果还理解不了，可以看看几何解释。在几何上，将向量乘/除标量k，具有将长度缩放∣k∣|k|倍的效果：

向量的加减法​

要使两个向量相加/减，只需分别相加/减他们对应的分量即可：

[x1y1z1w1]±[x2y2z2w2]=[x1±x2y1±y2z1±z2w1±w2]\nonumber \begin{bmatrix} x_1\\y_1\\z_1\\w_1 \end{bmatrix} \pm \begin{bmatrix} x_2\\y_2\\z_2\\w_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1\pm x_2\\y_1\pm y_2\\z_1\pm z_2\\w_1\pm w_2 \end{bmatrix}

对于几何解释，这里有三角形法则：

向量的大小​

向量的大小是其分量的平方和的平方根，以三维向量为例：

∣∣v∣∣=vx2+vy2+vz2\nonumber ||\mathbf{v}||=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}

也被称为向量的 范数(Norm)。

对于几何解释，可以用勾股定理来说明（以二维为例，高维度可以推广）：

如图，由勾股定理，有：

∣∣v∣∣2=∣vx∣2+∣vy∣2\nonumber ||\mathbf{v}||^2=|v_x|^2+|v_y|^2

然后省略右边的绝对值符号，开根号就能得到：

∣∣v∣∣=vx2+vy2\nonumber ||\mathbf{v}||=\sqrt{v_x^2+v_y^2}

单位向量(Normalized Vector)​

有时候，我们只是想用到向量的方向性，而不关注其大小，这时候就能用单位向量(Unit Vector)了。单位向量是大小为1的向量，也被称为标准化向量(Normalized Vector)。

向量标准化的公式如下：

v^=v∣∣v∣∣\nonumber \mathbf{\hat{v}}=\frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||}

需要注意的是，零向量是无法被标准化的。从数学角度，处于零是不对的；在几何角度，标准化零向量会找不到它的方向。

两点间距离公式​

两点间距离公式可由向量减法和向量大小推导出来，三维的公式如下：

distance(a,b)=∣∣d∣∣=(bx−ax)2+(by−ay)2+(bz−az)2\nonumber \mathbf{distance(a,b)}=||\mathbf{d}||=\sqrt{(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2+(b_z-a_z)^2}

向量点积(Dot Product)​

向量点积，也称为内积(Inner Product)，在游戏编程中无处不在，其也与矩阵乘法、信号卷积、傅里叶变换等运算有着重要联系。点积的公式如下（以二维为例）：

a⋅b=axbx+ayby=∥a∥∥b∥cosθ\nonumber \mathbf{a}·\mathbf{b}=a_xb_x+a_yb_y=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\rm{cos}\theta

向量点积是支持交换律，结合律和分配率的。

向量点积主要有以下用途：

求投影​

可以求一个向量到另一个向量的投影：

b\mathbf{b}在a\mathbf{a}上的投影大小为：

∥b∥∥=∥b∥ cosθ=a⋅b∥a∥\nonumber \|b_\|\|=\|\mathbf{b}\|\ \rm{cos}\theta=\frac{\mathbf{a}·\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|}

然后乘上 a^\mathbf{\hat{a}} 就好了。

判断相对方向​

向量点积结果是个标量，其符号具有判断两向量相对方向的功能：

找到两个向量的夹角​

由点积公式，可以算出两向量夹角 θ\theta 为：

θ=arccos(a⋅b∥a∥∥b∥)=arccos(a^⋅b^)\nonumber \theta =\rm{arccos}\left ( \frac{\mathbf{a}·\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|} \right ) =\rm{arccos}\left ( \mathbf{\hat{a}}·\mathbf{\hat{b}} \right )

计算向量的大小​

向量的大小也能通过点积进行计算：

∥v∥=v⋅v\nonumber \|\mathbf{v}\|= \sqrt{\mathbf{v}·\mathbf{v}}

沿某向量进行正交分解​

给定以下两个向量：

v,n^\nonumber \mathbf{v} ,\quad \mathbf{\hat{n}}

将 v\mathbf{v} 分解成与 n^\mathbf{\hat{n}} 垂直和平行的分量。

先求平行的，也就是 v\mathbf{v} 在 n^\mathbf{\hat{n}} 上的投影，已知它的长度为：

∥v∥∥=n^⋅v∥n^∥=n^⋅v\nonumber \|\mathbf{v}_\|\|=\frac{\mathbf{\hat{n}}·\mathbf{v}}{\|\mathbf{\hat{n}}\|}=\mathbf{\hat{n}}·\mathbf{v}

然后再乘上n^\mathbf{\hat{n}}即可（因为上边得到的是标量，这里要变成向量）：

v∥=n^(n^⋅v)\nonumber \mathbf{v}_\|=\mathbf{\hat{n}}(\mathbf{\hat{n}}·\mathbf{v})

然后垂直的就简单了：

v⊥=v−v∥\nonumber \mathbf{v_\perp}=\mathbf{v}-\mathbf{v_\|}

向量叉积(Cross Product)​

向量叉积只能在三维中引用，其产生三维矢量并且不是可变换的。

叉积的公式如下：

a×b=[x1y1z1]×[x2y2z2]=[y1z2−z1y2z1x2−x1z2x1y2−y1x2]=[0−z1y1z10−x1−y1x10][x2y2z2]\nonumber \mathbf{a\times b}= \begin{bmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1z_2-z_1y_2\\z_1x_2-x_1z_2\\x_1y_2-y_1x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -z_1 & y_1\\ z_1 & 0 & -x_1\\ -y_1 & x_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_2\\y_2\\z_2 \end{bmatrix}

叉积的大小公式如下：

∥a×b∥=∥a∥∥b∥sinθ\nonumber \|\mathbf{a\times b}\|=\mathbf{\|a\|\|b\|}\rm{sin}\theta

可以得出，当两非零向量平行时，他们叉积的结果为零向量；自己和自己叉积的结果也是零向量。

除此之外，叉积的常见性质如下：

向量叉积主要有以下用途：

判断从向量a到b是什么时针方向转动​

可以把b\mathbf{b}的尾部放到a\mathbf{a}的头部，然后通过左右手（看坐标系）的大拇指规则来判断：

也能用来判断两向量的左/右侧关系。

判断点在向量组成的图形内外​

绕同一个方向判断这个向量与其他所有向量的左右测关系，如果都一致则在内部。

参考资料​